以〈衛星軌道與扁圓的地球〉一文慶祝人類邁入太空時代一甲子！

60年前的人類能否預見到人造衛星今日的成就與挑戰？
地球科學專欄文章〈衛星軌道與扁圓的地球〉刊登在《科學月刊》565期（2017年1月），這裡提供編輯前的初稿（未含附圖，見下文連結）。 由於交稿有點倉促，付印版本有些小錯與不妥之處。 譬如，地球重力位展開式當中的「r」在此特指質心距離，否則J₁就不等於零（可參閱初稿）； 延伸閱讀第1項末尾多了一個N。 下文概述文章的最初構想，詳述月球重力場和EGM96大地水準面兩圖的若干技術細節與連結，給有興趣深入研究的讀者們參考。 大地測量並非個人專長，若有謬誤疏失還請諸位先進們不吝指正。

1957年10月4日，前蘇聯成功發射了人類第一顆人造衛星史波尼克一號（Sputnik 1）。2017年恰好是人類開啟太空時代的60周年。這個事件的深遠影響，不僅促成了隔年美國航空暨太空總署（NASA）的誕生，也包含了由美國開始延伸到台灣的中學科學教育課程改革。編輯部原本對於登陸月球或其他天體的軌道有興趣，只是，這對我來說有點難。以前並沒有接觸過發射升空的彈道分析或著陸分析，倒是先前曾經研究過福衛二號的太陽同步軌道。同樣採用太陽同步軌道的福衛五號雖然有些延遲，也即將發射。於是決定寫一些比較深入關於衛星軌道的文章。除了太陽同步軌道的原理，原本蒐集的材料還包括two-line element (TLE)的介紹，可以讓讀者有興趣玩玩入門或進階的人造衛星追蹤分析程式；也希望能討論密切軌道要素（osculating elements）、平均軌道要素等的差異，或許再包含一些新一代的衛星推進方式如離子引擎、光帆、雷射，還有超級衛星系（constellation，例如最近報導Space X提出發射4425顆微衛星）、太空垃圾危機與對策等當年匪夷所思的太空計畫或問題。同時，失敗的火星任務Mars Climate Orbiter (NASA，1998) 和破產（最近又重生！）的銥計畫（Iridium satellite constellation）應該也是很有教育意義或吸引力的故事。在Amazon還不難發現2016年的新書，介紹銥計畫從失敗到轉型成功的歷程。不過，為了維持專欄的特性，最後決定專注在太陽同步軌道的物理學基礎分析，以及和這非球對稱形狀密切相關的一兩項簡單的課題與概念，包括不規則的重力等位面（大地水準面）和更單純的參考橢球與大地基準。

「圖一：非球對稱質量分布的簡單範例」是一幅簡單的示意圖，衛星運動方向也未必如圖所示。 圖二是NASA聖杯號（GRAIL A & B）太空船量測到的月球重力場，單位是mGal（1 Gal = 1 cm s^-2 = 1000 mGal）。原始圖檔可以在NASA網站下聖杯號2012年12月的新聞稿找到。研究論文發表在《Science》2013年2月（Zuber, M. T. et al., Science, Vol.339, Issue 6120, pp. 668-671），也是當期的封面故事。但是，NASA新聞稿這張圖顯示的月球表面是以月面經度180度為中心，恰好是地球上看不見的月球背面中心；此外麥卡托投影也不能從赤道無限延伸到月球南北極，因此只包含了月球赤道南北各約72度的範圍。 為了讓讀者對這幅月球重力場有更多感覺，特地花了些時間將先前找到的月面圖透過程式處理以供讀者比對。 月面圖來自NASA在2009年發射的月球探勘號（Lunar Reconnaissance Orbiter，LRO），由LROC（Lunar Reconnaissance Orbiter Camera）團隊拼接了LRO廣角相機（Wide Angle Camera，WAC）在2009年11月到2011年2月間所拍攝超過15000幅照片而成。原始圖檔（圖檔格式「cub」）大小約5.5 GB，月面解析度約100公尺。如果只是要和上述聖杯號的月球重力場圖相比較，應該不需要這麼好的解析度。 透過專門處理NASA行星任務資料的ISIS3軟體（Integrated Software for Imagers and Spectrometers），將LROC團隊的月面圖，選擇赤道南北72度範圍，以中央經度0度為中心，同樣使用麥卡托投影，就得到這張 月面圖，解析度選擇每度8個畫素，約4公里。 如果需要更精確比較，這幅 標示經線緯線的月面圖，兩相鄰經線或緯線相隔都是30度。讀者可以和月球重力場圖相比較。 計算時，如果中央經線設為180度，似乎有些點沒有資料，所以就把月球正面中央經線0度擺在中間，和地球上看到的樣子也比較接近。 投影應該也可以用更一般性的程式GDAL（Geospatial Data Abstraction Library）來計算，但是用起來似乎還是ISIS3的GUI視窗介面比較容易入手。

圖三大地水準面，由於編輯需要的圖片解析度並不高，沒有選用較新的地球重力模型EGM 2008，而採用EGM96大地水準面，展示地球重力等位面不規則的情況。重新計算球諧函數恐怕趕不上出刊日期，所以直接使用了GeographicLib的geoid數據（15'版本）。資料的「pgm」格式可以用Netpbm處理。GeographicLib編碼時用了兩個參數：
offset = -108
scale = 0.003
所以，資料最小值336與最大值64464換算成高度就是
336 * 0.003 - 108 = -106.992
64464 * 0.003 - 108 = 85.392
單位都是公尺，和從NASA的EGM96網站程式計算出來的結果相符。圖檔由Wolfram Mathematica的ReliefImage直接加上陰影來凸顯立體效果，所以沒有用圖例來顯示高程差。