以〈衛星軌道與扁圓的地球〉一文慶祝人類邁入太空時代一甲子！

60年前的人類能否預見到人造衛星今日的成就與挑戰？
地球科學專欄文章〈衛星軌道與扁圓的地球〉刊登在《科學月刊》565期（2017年1月），這裡提供編輯前的初稿（未含附圖，見下文連結）。 由於交稿有點倉促，付印版本有些小錯與不妥之處。 譬如，地球重力位展開式當中的「r」在此特指質心距離，否則J₁就不等於零（可參閱初稿）； 延伸閱讀第1項末尾多了一個N。 下文概述文章的最初構想，詳述月球重力場和EGM96大地水準面兩圖的若干技術細節與連結，給有興趣深入研究的讀者們參考。 大地測量並非個人專長，若有謬誤疏失還請諸位先進們不吝指正。

1957年10月4日，前蘇聯成功發射了人類第一顆人造衛星史波尼克一號（Sputnik 1）。2017年恰好是人類開啟太空時代的60周年。這個事件的深遠影響，不僅促成了隔年美國航空暨太空總署（NASA）的誕生，也包含了由美國開始延伸到台灣的中學科學教育課程改革。編輯部原本對於登陸月球或其他天體的軌道有興趣，只是，這對我來說有點難。以前並沒有接觸過發射升空的彈道分析或著陸分析，倒是先前曾經研究過福衛二號的太陽同步軌道。同樣採用太陽同步軌道的福衛五號雖然有些延遲，也即將發射。於是決定寫一些比較深入關於衛星軌道的文章。除了太陽同步軌道的原理，原本蒐集的材料還包括two-line element (TLE)的介紹，可以讓讀者有興趣玩玩入門或進階的人造衛星追蹤分析程式；也希望能討論密切軌道要素（osculating elements）、平均軌道要素等的差異，或許再包含一些新一代的衛星推進方式如離子引擎、光帆、雷射，還有超級衛星系（constellation，例如最近報導Space X提出發射4425顆微衛星）、太空垃圾危機與對策等當年匪夷所思的太空計畫或問題。同時，失敗的火星任務Mars Climate Orbiter (NASA，1998) 和破產（最近又重生！）的銥計畫（Iridium satellite constellation）應該也是很有教育意義或吸引力的故事。在Amazon還不難發現2016年的新書，介紹銥計畫從失敗到轉型成功的歷程。不過，為了維持專欄的特性，最後決定專注在太陽同步軌道的物理學基礎分析，以及和這非球對稱形狀密切相關的一兩項簡單的課題與概念，包括不規則的重力等位面（大地水準面）和更單純的參考橢球與大地基準。

「圖一：非球對稱質量分布的簡單範例」是一幅簡單的示意圖，衛星運動方向也未必如圖所示。 圖二是NASA聖杯號（GRAIL A & B）太空船量測到的月球重力場，單位是mGal（1 Gal = 1 cm s^-2 = 1000 mGal）。原始圖檔可以在NASA網站下聖杯號2012年12月的新聞稿找到。研究論文發表在《Science》2013年2月（Zuber, M. T. et al., Science, Vol.339, Issue 6120, pp. 668-671），也是當期的封面故事。但是，NASA新聞稿這張圖顯示的月球表面是以月面經度180度為中心，恰好是地球上看不見的月球背面中心；此外麥卡托投影也不能從赤道無限延伸到月球南北極，因此只包含了月球赤道南北各約72度的範圍。 為了讓讀者對這幅月球重力場有更多感覺，特地花了些時間將先前找到的月面圖透過程式處理以供讀者比對。 月面圖來自NASA在2009年發射的月球探勘號（Lunar Reconnaissance Orbiter，LRO），由LROC（Lunar Reconnaissance Orbiter Camera）團隊拼接了LRO廣角相機（Wide Angle Camera，WAC）在2009年11月到2011年2月間所拍攝超過15000幅照片而成。原始圖檔（圖檔格式「cub」）大小約5.5 GB，月面解析度約100公尺。如果只是要和上述聖杯號的月球重力場圖相比較，應該不需要這麼好的解析度。 透過專門處理NASA行星任務資料的ISIS3軟體（Integrated Software for Imagers and Spectrometers），將LROC團隊的月面圖，選擇赤道南北72度範圍，以中央經度0度為中心，同樣使用麥卡托投影，就得到這張 月面圖，解析度選擇每度8個畫素，約4公里。 如果需要更精確比較，這幅 標示經線緯線的月面圖，兩相鄰經線或緯線相隔都是30度。讀者可以和月球重力場圖相比較。 計算時，如果中央經線設為180度，似乎有些點沒有資料，所以就把月球正面中央經線0度擺在中間，和地球上看到的樣子也比較接近。 投影應該也可以用更一般性的程式GDAL（Geospatial Data Abstraction Library）來計算，但是用起來似乎還是ISIS3的GUI視窗介面比較容易入手。

圖三大地水準面，由於編輯需要的圖片解析度並不高，沒有選用較新的地球重力模型EGM 2008，而採用EGM96大地水準面，展示地球重力等位面不規則的情況。重新計算球諧函數恐怕趕不上出刊日期，所以直接使用了GeographicLib的geoid數據（15'版本）。資料的「pgm」格式可以用Netpbm處理。GeographicLib編碼時用了兩個參數：
offset = -108
scale = 0.003
所以，資料最小值336與最大值64464換算成高度就是
336 * 0.003 - 108 = -106.992
64464 * 0.003 - 108 = 85.392
單位都是公尺，和從NASA的EGM96網站程式計算出來的結果相符。圖檔由Wolfram Mathematica的ReliefImage直接加上陰影來凸顯立體效果，所以沒有用圖例來顯示高程差。

〈衰減的星光〉又見外星人？

2015年諾貝爾獎名單公布後不到兩星期就接到耀寰來信，是一個網址連結，編輯部需要一篇短評。兩頁的短文〈衰減的星光〉（編輯部加上了個副標題「恆星亮度變化暗示文明存在？」）刊登在《科學月刊》554期（2016年2月），這裡提供編輯前的初稿。趕在春節前，編輯部還安排了教育電台的節目時間，和主持人燕子姐聊天，來介紹這篇短文的主角，也順便向聽眾拜年。

好萊塢明星總有個響亮好聽的名字；特殊天體的名字卻比較像電話號碼，好比說，KIC 8462852。我是真的很有興趣知道有沒有人用這支門號。最初發現這怪異天體的科學論文，雖然初稿早在2015年9月就上網；論文經過嚴格的審查和修改，卻直到2016年4月才正式出版，也增添了新的證據。持續監測恆星的亮度變化，其實也是掩星研究的主要工作之一。比較引人注意的是，這是一顆相當明亮的恆星，小望遠鏡就看得到；光度變化大，也不需要太精密的儀器就可以量得出來。如果克卜勒太空望遠鏡花了四年的時間，在天鵝座那塊小小的天區內就找到這個獨特的天體；是否有其他類似的普通恆星展現相似的亮度變化行為，應該相當值得小望遠鏡或業餘觀測者嘗試。網路宅人也可以考慮參加不出門的「行星獵人」（Planet Hunters）計畫，直接研究克卜勒望遠鏡的數據。

至於引起大眾狂熱的外星人假說，確實值得我們好好想想人類或是可能存在的外星文明本身的能源需求和運用方式；另一方面，也算是提供另一種透過光學望遠鏡搜尋外星文明的途徑。最近，所裡有場演講介紹某些白矮星周遭可能存在的行星系統或岩屑盤。光變曲線看起來其實還有些眼熟，只是白矮星和普通恆星大小相差百倍，要解開KIC 8462852之謎，還需要更多的觀測證據。2017年即將到來，也逐漸接近預測中有可能再次發生大規模亮度衰減的日期。如果您有機會，不妨抬頭看看天鵝座吧。不論恆星亮度是否有變化，嚴謹的科學觀測和記錄終將揭開它神秘的面紗。

關於〈《星際效應》的時空幾何與想像〉

　　二月底奧斯卡金像獎剛揭曉沒幾天就接到編輯部來信，希望能配合與2014年電影《星際效應》（Interstellar）相關的一本翻譯新書出版，在三月底前寫篇文章。因為有一段時間沒有進電影院了，也不確定有沒有什麼靈感或見解值得花時間寫下來的，就先到附近書店逛逛。很幸運的，書店裡剛好有這本《The Science of Interstellar》正在促銷，作者大名赫然是Kip Thorne，以前老板的老板，隨便翻翻二話不說就刷下去帶回家了。有趣的是，這本書是和電影相關書籍一併陳列在店裡，而不是原本預期歸類在一般科普書籍中。讀了序言和目錄，開始感到有點為難，因為封面寫著「spoiler alert」（有雷），一向很入戲的我可不想觸雷。首輪電影已經下片一陣子，光碟版要4月才上市，上網搜尋幾天終於等到桃園某郊區戲院開始二輪放映，只好刷悠遊卡去八德逛逛街。看完電影，又花點時間看書，最想知道的是從1988年為了Carl Sagan《Contact》一書所發展的蟲洞理論（traversable wormhole），和1994年Kip Thorne自己的科普著作《Black Holes & Time Warps》之後，相關領域的研究有些什麼重要的進展。影評應該留給社裡的科幻專家，中文翻譯書要5月才出版，也很少人為原文書寫書評，認真介紹電影裡的科學很難不透露劇情，預定3000多字的篇幅並不長，不容易介紹得比原作更清楚，不如直接看書。不過，科月5月號主題的「國際光之年」恰好也是紀念愛因斯坦的廣義相對論一百周年，聚焦在相對論與時空，雖然不能涵蓋電影中所有的科學相關內容，應該還算相配。同時也藉此提前慶賀廣義相對論的一百歲生日。中華民國重力學會等團體在下半年應該會安排各種慶祝活動。

　　拙作〈《星際效應》的時空幾何與想像〉一文刊登在《科學月刊》545期（2015 年5月），這裡提供編輯前的版本。原稿中並沒有真正寫下愛因斯坦方程式，其實應該也不大需要，因為沒看過有人把它反過來寫。Thorne原作論述清楚，讀起來很輕鬆，旁徵博引一些最近二十年的相關研究也十分引人入勝。由於科學材料太多，即使專注在時空幾何也很難在簡短篇幅內一一介紹。除了狹義及廣義相對論，最後稍微提及蟲洞和量子重力，在下原稿中最末用「快閃」的方式蹦出的反德西特空間（anti-de Sitter space或是adS space）、黑洞內部的其他奇異點、超立方等新鮮名詞或課題其實也都需要一些時空幾何的想像，就只能留給有興趣的讀者自己鑽研了。關於黑洞和蟲洞的彎曲時空，書裡主要以一般常用的赤道面內嵌幾何（embeded diagram），透過三維空間展示彎曲的二維空間（赤道平面）。缺點是看不太出來廣義相對論的時間膨脹，也區分不出黑洞和電影裡這種Morris-Thorne蟲洞（即traversable wormhole）的差別。1988年以前的蟲洞通常就是Einstein-Rosen bridge（ 史瓦西蟲洞），兩頭是黑洞和白洞。但是黑洞視界（event horizon）有去無回，並不適合星際旅行。Morris-Thorne蟲洞沒有視界，也沒有奇異點，與前者有相當的差異。學過一些相對論的讀者不妨試試透過時空圖來看看這種假想的蟲洞，度規可以參考特效團隊與Thorne最近合作發表的文章。若是選擇了不同的時間坐標，顯然可以畫出不同的時空圖。拙作中圖二的時空圖與光錐是仿效Hawking and Ellis, 1973, 《The Large Scale Structure of Space-time》一書中Figure 23所繪製。圖三顯示史瓦西黑洞旁的光偏折，來自《Gravitation》一書中Figure 25.6重製。Thorne新書中提到與特效公司Double Negative合作的兩篇論文已經在2月中上線，一篇研究旋轉黑洞arXiv:1502.03808發表在Classical and Quantum Gravity, 32, 065001，另一篇解釋如何計算電影中的蟲洞arXiv:1502.03809將發表在American Journal of Physics。《星際效應》一片拿下奧斯卡最佳視覺效果獎，透過嚴謹堅實的科學基礎所展現的黑洞與蟲洞場景應該是影片中的亮點，可惜已經不太容易在IMAX大銀幕上欣賞。

三種天球投影下的全天星座圖

　　《天聞季報》2015年春季號「多波段看宇宙」原本排在去年夏季出刊，若干內容很早就完成了。為了解讀各波段的巡天觀測結果，才注意到有好幾種不同的天球投影方法都可能被用到。以前曾經將〈耶魯亮星表〉（Yale Bright Star Catalog）依照天體的天球赤道坐標（赤經赤緯）製作成恆星圖。這亮星表大致上包括所有肉眼可見的恆星。趁此機會透過open source的《Starlink》程式庫〈libpal.a〉，搭配國際天文聯合會IAU《SOFA》程式庫中的〈libsofa_c.a〉，將赤道坐標轉換成銀河坐標。為了視覺上不至於太過擁擠，選取了9110顆星之中較亮的4022顆。星座的圖樣基本上來自當年的《Startchart》程式，當中有一個不大完整的〈pattern.star〉檔案。個人看著IAU的星座圖，把剩下的幾個南天星座稍微花點時間補齊了，不過星座圖樣並沒有什麼一定的標準。

　　莫爾威投影（Mollweide projection）、艾托夫投影（Aitoff projection）、漢麥爾投影（Hammer projection）三種投影方法的數學細節都可以在維基百科上找到。當然也可能有其他的投影方法。此處提供在下透過上述這三種投影法繪製的全天星座圖（檔案格式：pdf）：

1. 全天星座圖（銀河坐標+莫爾威投影）
2. 全天星座圖（銀河坐標+艾托夫投影）
3. 全天星座圖（銀河坐標+漢麥爾投影）

藍色圓點依照銀河坐標經緯度每隔30度繪製，圓點半徑5度，每個圓點所代表的面積應該都一樣。從這些圓點的分布和變形的情況可以稍微看出不同投影方法的差別。原始的向量圖檔（PostScript格式）是文字檔，可以依照不同的需求調整顏色、線寬、星點大小，如有需求請私訊連絡。

太陽在銀河系中的位置

　　《天聞季報》2014年春季號「網路公民天文學」背面介紹人類給外星文明的訊息。其中有一張圖利用了14顆脈衝星加上銀河中心的方向和距離，標示出太陽（太陽系）在銀河系中的位置。這張圖不僅鑲在先鋒號太空船上，也印在航海家太空船的金唱片上。可以參閱季報和維基百科的相關說明。天文學家Carl Sagan最初如何在有點緊迫的時程下設計出這些給外星文明的訊息，可以參考他1972年的文章〈A Message from Earth〉，其中詳細列出了這14顆脈衝星的名字。網路上另外可以找到Wm. Robert Johnston的網頁，他在2007年有篇網頁文章〈Reading the Pioneer/Voyager Pulsar Map〉，詳細分析1970年代的脈衝星資訊是否足以判定太陽系的真正位置。因為，脈衝星周期通常會隨著年齡而變慢，脈衝星和太陽都會繞著銀河中心運動，脈衝星的電波傳到地球或是銀河系其他角落也需要時間。雖然脈衝星被稱為銀河中的燈塔，實際上的問題顯然必須考慮許多因素而更為複雜。這14顆脈衝星的詳細資料可以從澳大利亞脈衝星星表〈ATNF Pulsar Catalogue〉查詢得到。

〈類星體五十年〉相關網址及參考資料

九月某天打開信箱，看到總編寄來的網址，是美國加州理工學院紀念五十年前發現類星體的研討會。科月要趕在今年刊出相關的文章，截稿時間有點緊迫，不好意思推給同事，就答應下來。手邊恰好也有些這方面的文獻，所以就花了點時間再深入研讀一番。〈類星體五十年〉一文就按照總編計畫在十月初完稿，刊登在《科學月刊》527期（2013 年11月）。由於文章的篇幅和性質，有些材料不方便列在參考文獻或註解中。編輯除了修改若干不清楚的文字、格式、圖說之外，也增加一小段在下對於「紅移」（redshift）的小小說明。如果您不挑剔，也可以看看全文編輯前的版本。

加州理工學院在九月舉辦了 Fifty Years of Quasars 紀念研討會，網址www.astro.caltech.edu/q50/Home.html可以連接到演講的影片和內容。包括施密特教授本人回顧當年發現的經過、研究的時代背景、後續發展和最新的研究進展都包含其中。拙作有些內容也直接引用。丘宏義教授在《Physics Today》1964年五月號的文章，被維基百科引用。上網下載原文還可以看見丘教授半世紀前的英姿。身為編輯的諾貝爾獎得主錢卓在施密特教授文章頁尾所加的編註，也可以在1970年〈Space Distribution and Luminosity Functions of Quasars〉一文的開頭看見。搭配施密特教授演講回顧答覆聽眾提問，這段歷史又鮮活的呈現出來。在聆聽史丹佛大學 Roger Blandford 教授的演講時才發覺，今年恰好也是愛因斯坦方程式少數幾個重要解析解 Kerr solution 的五十周年！當年史瓦西在愛因斯坦發表廣義相對論後沒多久就寫下了球對稱的史瓦西解。可是描述更實際的旋轉時空和自轉黑洞的準確解，卻等了好幾十年才由紐西蘭數學家克爾解出來。這名字對於稍微接觸過黑洞研究的學子一定不會陌生。可惜五年前克爾來台參加研討會，沒有引起太多的注意。 在下無意間從游輝樟教授那兒聽到消息，在東華大學留下了文中的那張照片。今年七月初，在德國舉辦了Kerr Conference，兩天的會議影片也可以上網觀賞。今天，活躍星系核的研究非常蓬勃，恐怕不是短短的紀念文章可以說清楚的。Beckmann 和 Shrader 最近有篇短文介紹一些活躍星系核研究中尚待解決的問題，〈The AGN phenomenon: open issues〉。拙文圖二「活躍星系核的標準模型」是參考該文附圖（Figure 1）重新繪製。細節的描述也可以參考他們兩位在2012年出版的《Active Galactic Nuclei》一書（由WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA出版，院裡可以閱讀電子書）第四章。Véron-Cetty 和 Véron 所編的活躍星系核目錄（第13版），可以從天文研究常用的資料庫CDS下載或連結。自然科學研究資源的開放和工程技術專利的獨佔性，可以由此看出差異。年輕學子在選擇未來志向時，或許也會考慮個性和工作特性之間是否相合。諾貝爾獎至今沒有頒給黑洞的研究或相關發現，隨著觀測技術的進步，或許會有所改變。十二月中在美國德州大學達拉斯將舉辦一周的第27屆德州相對論天文物理研討會（The 27th Texas Symposium on Relativistic Astrophysics），以「jubilee」一詞來慶祝相對論天文物理五十周年。第一屆研討會正是在1963年的達拉斯，以「類星體與重力塌縮」（Quasistellar Sources and Gravitational Collapse）為主題，顯見類星體在當年就被視為重「大」的發現（這「大」的特性，正適合德州，即使當地那時只有相對論學者，沒有天文學家。參閱Schucking在研討會25周年時的回顧。），雖然相對論和宇宙學的相關研究早在廣義相對論誕生之初就存在。從會議規模和主題來看，不難想見這仍然會是未來熱門的研究課題。

《天外天：人類和黑暗宇宙的故事》書評的補充說明及連結

在下的讀書報告〈心繫千古事，情縱天外天〉刊載於《科學月刊》519期（2013 年3月）。初稿大約在去年9月完成。有些材料不太適合寫在《天外天》書評裡面，這裡提供部分細節補充。
文中提到李傑信（李杰信）博士先前出版在《中国科技财富》雜誌中9篇同名的文章如下：
人的审判（上）2008/07期
人的审判（下）2008/08期
第一道光 2008/12期？
黑暗的宇宙 2009/01期
天外还有天外天 2009/03期
天尺 2009/05期
瓶装太阳 2009/07期
撞月 2009/11期
从“许昌人”说起（一）2009/13期
从“许昌人”说起（二）2009/15期
黑洞（上） 2009/17期
黑洞（下）2009/19期
期數和月份可能有點混淆，出刊日期好像不是很正常。有些時候似乎是半月刊，例如2009年，但2008年似乎又不是。不過，搜尋作者及標題應該都可以找到文章。原先找到的原始期刊網址已經失效，稍後有更確切的資訊會再更新。
另外，白矮星的電子簡併壓力是量子力學的效應，和古典電磁學的靜電力有所不同，一般教科書或科普書都會介紹。初稿完成後才聽說美國太空總署NASA已經退出了雷射重力波太空干涉儀LISA的太空實驗計畫，由歐洲太空總署ESA獨挑大樑。金融風暴下的LISA計畫和其他科學研究顯然面臨相當多的困境。