〈蒼藍一粟〉補遺

打開IAU寄來的電子郵件，才注意到「Pale Blue Dot」已經30年了。 NASA在1977年發射的兩艘太空船：航海家1號和2號（Voyager 1/2，或譯為「旅行家」「航行者」）堪稱是太陽系行星探測史上最成功的計畫。 2019年諾貝爾物理獎頒給了系外行星的發現和物理宇宙學的理論研究，因為他們改變了人類對宇宙的看法； 時代雜誌選出了積極推動環保工作的瑞典少女為年度風雲人物（Person of the Year）。 配合國際天文聯合會的活動，本地的社群也頭一次參與為系外行星命名。 薩根博士（Carl Sagan, 1934-1996）當年主導的拍攝計畫和他饒富詩意的評論，於今看來，在科學與人文兩方面都歷久彌新。 薩根博士本人雖然沒能親眼看見系外行星研究成為當代顯學，地球環境變遷躍升為國際關切議題； 他所預見的未來願景仍是歷史濁流中的一盞明燈。 大咖的稿子邀不到，靈感來時自然有親自提筆的動力。 關於「Pale Blue Dot」一詞的起源，網路上只查到當年9月薩根博士在PARADE雜誌周日增刊上發表的短文。 手邊一時之間拿不到1994年的同名著作，無法進一步確認。6月記者會的幾篇報紙報導皆引述為「blue dot」。 查證多花了些時間，初稿在1月中完成，沒能趕上2月號的進度。 〈蒼藍一粟〉短評一篇刊登在《科學月刊》 603期（2020年3月），這裡提供 編輯前的原稿。 下圖是依據JPL的星曆程式計算1990年2月14日航海家1號與行星位置在黃道面上的投影 （PDF圖檔下載）：
紅色星號代表太陽。 小黑圓點由內到外分別是水星、金星、地球、火星，大黑圓點是木星、土星、天王星、海王星，大致都在黃道平面附近，藍色虛線圓圈顯示行星和太陽的平均距離。 空心圓點是冥王星，距離黃道平面約7.9 au；倒三角形是太空船當時的位置，距離黃道平面約22 au。 （JPL星曆程式可參見維基百科條目關於 JPL Horizons On-Line Ephemeris System的簡短介紹與連結） 太空船遠離黃道的角度並不難估算。一般報導多引用30年前由地球（或接近太陽）觀測的角度，今天來看已經不合時宜。 倒是紐約時報採用了比較不同的觀點。 在國際天文聯合會百周年IAU 100:Under One Sky網頁可以找到不少和 Pale blue dot活動 相關的材料。 其中包括紐約時報針對阿波羅8號太空人拍攝「Earthrise」照片50周年的專訪， 對歷史事件有興趣的讀者肯定不會錯過。 柏林圍牆的諸多故事，猶如雷根總統在圍牆前演說留下的名言，彷彿昨日才鮮活上演，歷史並不一定要侷限在課堂裡。 這回病毒疫情所改變的世界，只能留待後人來述說。

〈從巨石陣、曼哈頓到高雄 漫談日月的東起西落〉勘誤、延伸閱讀與補遺

臨時接到社裡編輯的來信，需要地球科學專欄稿件。腦中忽然閃過最近收到的轉傳懸日訊息、高雄市政府決定青年路封街新聞、九年前完稿未發表的月球運動文章、四年前在南山中學演講「月亮在哪裡？」卻只講完太陽，於是就一口答應了。 不過，用Mathematica程式跑一跑，文章寫一寫發覺可以不要扯到橢圓軌道這部份，於是又把九年前這「橢圓軌道三部曲」的構想收進抽屜。結果認真用DE406把月球公轉軌道跑一遍，把月球放進「懸日懸月」來一起討論，卻沒有用到太多舊稿子裡準備好的材料，還挑出以前沒仔細研究的錯誤，等於重寫了一篇，沒省多少工夫。 打算從英格蘭巨石陣下筆，又鑽進天文考古的神祕世界。雖然原本對考古就有些興趣，沒想到巨石陣裡面的材料相當豐富，來龍去脈牽扯甚廣，欲罷不能。好在史前時代沒有文字記錄，臆測多於證據，不用扯太遠，也沒那麼多篇幅可用。

專欄文章〈從巨石陣、曼哈頓到高雄 漫談日月的東起西落〉 刊登在《科學月刊》588期（2018年12月） 這裡提供編輯前文字原稿（不含附圖），以及由原始EPS圖檔轉成的點陣圖檔（圖一約2142x1533 pixels，圖三2518x2762 pixels）。 圖一顯示不同緯度3地在夏至、冬至、春分與秋分日出日落的大致情形。

• 圖一(a)（英格蘭巨石陣）
• 圖一(b)（紐約曼哈頓）
• 圖一(c)（高雄青年路）

圖三 是用手邊星曆程式DE406計算2010年初至2028年初月球公轉軌道平面法線方向的結果。 和JPL現在使用的網頁程式DE430相比較，DE406計算1970年月球軌道兩者之間沒有明顯的差異。 讀者可參閱維基百科條目「Jet Propulsion Laboratory Development Ephemeris」的說明和外部官網連結。 圖二則可以參照維基百科條目「Orbit of the Moon」的附圖。 由於專欄版面有限，有些有趣的問題無法多談。好奇的讀者可能會注意到，圖三中月球公轉軌道平面法線方向似乎是繞著天球上（天龍座）某個特定點以18.6年的周期旋轉。如果參考維基百科「Orbital pole」條目，把赤經18 h，赤緯+66° 33′ 38.55"的「黃極」（ecliptic pole，即黃道坐標的南北極）標示在圖三中，就得到了一幅 包含黃緯線的圖三，其中橘色虛線正是黃道坐標的緯度線。黃道的經度坐標也是從春分點起算，至於黃道北極的赤經坐標為何會剛好在18 h（270度）這問題就留給讀者。

校稿時有個小錯沒有抓出來，是在下的疏失。
刊出原文（誤）：「在2015 年10 月，月球的赤緯變化只有±18.3 度（= ε5.145°）」
應該改為（正）：「在2015 年10 月，月球的赤緯變化只有±18.3 度（= ε － 5.145°）」
也就是說 23.4 － 5.145 = 18.3度左右。可能是因為英文鍵盤上的連字號（hyphen）有時不適合和數學的減號混用，所以原稿用了特殊字型，排版時字就跑掉了。 原稿中引用《科學月刊》480 期（2009年12月） 全球天文年專欄〈行星橢圓軌道的古今對話〉一文， 可參閱這個部落格中先前的文章〈行星橢圓軌道的古今對話〉補遺以及其中的連結，進一步了解橢圓軌道的效應和歷史。

關於英格蘭巨石陣的介紹或研究文獻很多，有興趣的讀者可以先從維基百科 Stonehenge條目下的介紹與連結，以及英國文化遺產 巨石陣官網的歷史沿革與故事來了解一些特定的專有名詞、過往考古發掘與重建的簡史、有多數共識或存疑的推論與假說。原稿列舉了三篇延伸閱讀：

1. Lionel Sims, “The ‘Solarization’ of the Moon: Manipulated Knowledge at Stonehenge”, Cambridge Archaeological Journal 16:2, 191–207 (2006) DOI:10.1017/S0959774306000114
2. Neil deGrasse Tyson, “Manhattanhenge”, https://www.amnh.org/our-research/hayden-planetarium/resources/manhattanhenge
3. Alejandro Jenkins, “The Sun’s position in the sky”,Eur. J. Phys. 34, 633–652 (2013) DOI:10.1088/0143-0807/34/3/633

第一篇文獻或許未必能得到學界的完全認同，但是它深入探討夏至、冬至以及巨石陣與月亮的關係，自成一家之言，確實值得參考。 第二篇是泰森在紐約自然歷史博物館的Hayden天象館網頁資源中對於Manhattanhenge的解說，出版時編輯用了縮網址，比較不容易看出來源。 第三篇包括了太陽的方位角和高度角解析，甚至於日行跡（analemma）以及橢圓軌道與時差（equation of time）的計算細節，適合想要親手計算的認真讀者。 至於火星的自轉軸穩定性問題，可從J. Laskar等人以及J. Touma等人1993年的文章開始，再進一步了解其他後續發展。

關於〈高能微中子天文學曙光乍現〉

今年（2018年）8月間，偶然造訪LIGO網站，想看看重力波研究活動的近況。沒想到網站上的最新消息是7月中恭賀南極的「冰立方」團隊的突破性結果，為多元訊息天文學時代又豎立新的里程碑。雖然先前沒有特別鑽研微中子或宇宙線偵測，相關的天文物理起源一直都是關注的課題。微中子偵測器或是其他宇宙射線偵測通常只能大概判別粒子來源的方向，這回有其他電磁波段的觀測證據支持，才比較能確認和活躍星系核blazar之間的關連。不過，仔細閱讀Science上的論文，發覺關連性沒有原先想像中那麼強（和中子星碰撞事件相比）；稱之為一線曙光應該還算貼切。

短文評論〈高能微中子天文學曙光乍現〉 刊登在《科學月刊》586期（2018年10月）， 稍後也轉載於《科技報導》443期（2018年11月）。 全文可以直接上網閱讀，這裡提供編輯前的初稿。 許多近期的相關評論文章不難找到。比較新的像是 Anchordoqui, L. A.的 Ultra-High-Energy Cosmic Rays arXiv:1807.09645v1，長篇評論雖然在7月下旬上網，尚未正式出版，等到有空再慢慢細讀。 從各種後續大型偵測器計畫的現況來看，這應該是另一個頗有前景的發展方向。

重力波專輯、〈重力波偵測器的概念與技術〉補充連結及勘誤

從2015年相對論百年的慶祝活動到2017年諾貝爾獎頒發，已經有許多關於重力波介紹的好文， 詳細介紹了重力波的發展歷史、基本原理、背後的小故事。 像是Daniel Kennefick 在世界物理年美國《今日物理》雜誌9月號曾回顧愛因斯坦和知名學刊《Physical Review》之間的一段過往 （Physics Today 58, 9, 43 (2005)）， 此間多位學者都有精彩的文章引介。有興趣的讀者也可以參閱Kennefick 的專書 《Traveling at the speed of thought: Einstein and the quest for gravitational waves》（Princeton University Press, 2007）。 《科學月刊》548期（2015年8月）廣義相對論百年專輯，林俊鈺博士與游輝樟教授的 〈來自深空的交響詩—重力波〉 涵蓋了重力波和數值相對論的基本概念。 576 期（2017 年12 月）諾貝爾獎特別報導， 實際參與LIGO計畫的潘皇緯在〈證實重力波存在的功臣 雷射干涉重力波觀測站〉介紹了LIGO偵測器的原理，特別包含了反射鏡的一些細節； 倪維斗教授〈無遠弗屆、鉅細靡遺 全方位的重力波探測〉 從科學的宏觀角度回顧並展望重力波研究的過去與未來。

通俗科學雜誌的讀者訴求和專業期刊畢竟有所區隔。 物理學會的科普刊物《物理雙月刊》照例會在每年年初專注報導當屆諾貝爾物理獎的相關研究。 在這樣的時間點上還要推出一個重力波專輯需要多花一些工夫，除了儘量避免重複的內容，新材料也不宜太過艱澀。 要適度的呈現重力波這主題，讓讀者能看見這領域的前景，是規劃時的主要考量。 對於這個已經發展了一百年的課題，只要找出具有前瞻性的切入點，仍然可保有它的吸引力。 在若干可能的選項中，並考量國內學者的相關研究近況，最後決定專輯規劃的方向以「重力波偵測的關鍵技術與應用」為主軸。 專輯沒有打算成為一本重力波百科全書或教材，只是透過相關領域專業的眼光把「偵測重力波」新近的研究發展介紹給讀者。

饒兆聰教授團隊不僅參與第一次中子星碰撞和先前其他重力波事件的搜尋，也正帶領學生積極參加設備更先進的ZTF計畫。這是由美國加州理工學院所主導的「史維基瞬變探測器」（Zwicky Transient Facility，ZTF），可望在多元訊息天文學時代扮演更重要的角色。 偵檢出微弱重力波信號的關鍵之一是透過相對論來計算重力波的波形，包含振幅、相位、極化方向等特性。以雙黑洞合併過程為例，可分為旋進互繞（inspiral）、碰撞合併（merger）、鈴震（ringdown）三階段。雙星最初互相靠近，像是脈衝雙星（binary pulsar），可以透過post-Newtonian的展開來處理；雙黑洞合一的最後階段可藉由黑洞微擾的分析與quasi-normal mode來計算；重力波信號最強的碰撞合併過程只能透過數值相對論的計算模擬。 Simulating eXtreme Spacetimes，SXS計畫結合了歐美幾個重量級研究機構和學者，其中包刮2017諾貝爾物理獎得主之一的索恩教授，專注於數值相對論的研究。SXS在網頁裡解釋了相對論研究近年的重要歷史背景和SXS計畫的研究動機，重力波偵測和數值相對論正是近代相對論研究的兩大主軸，但是後者的研究進展相對的緩慢，投入的資源也相對不足。 林俊鈺博士與游輝樟教授的〈從愛因斯坦方程式到超級電腦黑洞模擬－數値相對論發展歷史〉介紹了這段艱辛的歷程，文中提到的開源程式碼可以參考 The Einstein Toolkit網站的介紹。

〈重力波偵測器的概念與技術〉（原本標題〈重力波偵測器的科學原理〉）是發表在《科學月刊》578期（2018年2月）的另一篇專輯文章。這裡提供編輯前的初稿 （純文字與所有附圖，其中圖二是出刊後才修正的版本）。
圖三編輯部改用576期潘皇緯文中編輯部重製的附圖，圖說則維持原稿；其他單張附圖如下（pm3d版未刊出）：
圖一Michaelson干涉儀
圖二（出刊後更正版）LIGO干涉儀主要架構
圖四a 量子簡諧運動基態的相空間（phase space）圖示。量子化的電磁場真空也顯現相同的量子起伏特性。 古典的真空對應圖中的原點，量子態則必須是一個分布。
圖四a上（Wigner函數）、 圖四a上（Wigner函數，pm3d版）
圖四b 緊挾基態（或真空緊挾態）的相空間圖示。在某些特定相位方向的量子起伏可能比真空還要小。但是，整體仍然滿足測不準原理。
圖四b上（Wigner函數）、 圖四b上（Wigner函數，pm3d版）

二月出刊原文中有一段最後排版編輯時有些失誤，第134頁左起第一欄第二段前半部分修正如下：
[出刊原文]
古典簡諧運動好比理想的彈簧，
靜止時位移和動量都是零。子
起伏，滿足測不準原理。忽略
質量和彈簧常數等人為係數（選
擇自然的單位），相圖上任一點
和原點的距離（平方）直接對
應到簡諧運動的總能量（動能
加位能= 位移²+ 動量²）。量
子簡諧運動，基態的平均位移
和平均動量都是零，但是有量
教科書上量子簡諧運動的基態
波函數是一個高斯分布，...

[應該更正如下]
古典簡諧運動好比理想的彈簧，
靜止時位移和動量都是零。忽略
質量和彈簧常數等人為係數（選
擇自然的單位），相圖上任一點
和原點的距離（平方）直接對
應到簡諧運動的總能量（動能
加位能= 位移²+ 動量²）。量
子簡諧運動，基態的平均位移
和平均動量都是零，但是有量子
起伏，滿足測不準原理。
教科書上量子簡諧運動的基態
波函數是一個高斯分布，...

此外，網頁上和出版刊物81頁所顯示的578期目錄都將此文標題寫成「重力波偵測器的概念與技術史」，和原文有出入。數值相對論一文確實談論比較多歷史發展，〈重力波偵測器的概念與技術〉一文則是著重在偵測重力波的基本科學原理，尤其是LIGO當前最主要的兩大雜訊來源，從古典物理講到近代物理，希望能讓不同領域的讀者都能夠更深入的了解其中的技術關鍵。如果您對重力波的發展史感興趣，不妨參閱先前介紹的幾篇文章，以及年重力波發現後由陳江梅教授等三人在中華民國物理學刊合寫的論文（英文）：
C.-M. Chen et al., A brief history of gravitational wave research, Chinese Journal of Physics (2016), DOI: 10.1016/j.cjph.2016.10.014
(ADS, arXiv)
LIGO的白皮書是〈重力波偵測器的概念與技術〉一文主要的參考資料之一，譬如干涉臂中的雷射功率等數據，以2017年版的白皮書為主。延伸閱讀等其他文獻做為參考。 延伸閱讀3的LISA計畫書LISA Mission L3 Proposal（2017/01/20）也可以參考LISA網站。距離目前預計的發射時間2030年代中期還有十多年，屆時重力波和其他天文物理研究又會呈現什麼樣的宇宙面貌，頗值得青年朋友們認真思考。

重力波、中子星、LIGO

去年（2017）年初答應老師接下了6月底在中央大學天文研習營介紹重力波的一場演講。不料，年輕有為的bubu不僅準備當爸爸，暑假前全家就要暫遷到加拿大繼續相關的研究工作，把他準備好的投影片keynote講稿也寄了過來。雖然以前看過許多文獻，最近幾年並沒有特別追蹤重力波偵測技術的最新進度。天文學會年會排在5月中，國際天文聯合會亞太地區會議排在7月初，日本重力波干涉儀KAGRA國際會議也在5月下旬湊上一腳，再加上原本的暑期學生計畫，真是忙得不可開交。雖然擺脫不掉雜務，要略過資料蒐集時看到的那些有趣的科學內容也不大容易。總想在閱讀當中找些有意思的題目來深入研究一番。

2015年重力波的發現是件大新聞，社裡一直想要做個專輯。 LIGO當年9月15日偵測到的信號分析結果，一直等到2016年2月中才發表。 學界慶祝廣義相對論一百周年的活動還沒有完全結束，有許多評論介紹重力波歷史與研究的好文章顯然來不及寫下這百年來的關鍵突破。 2015年10月底，索恩教授（Kip S. Thorne）還接受中研院物理所和中華民國重力學會的邀請，來台參加慶祝活動、學術研討會，並舉行電影《星際效應》科普演講。 許多本地的書迷和影迷都拿到教授的親筆簽名。仔細看這簽名的日期（29 Oct 2015），LIGO團隊可能還在緊鑼密鼓的研究新發現的重力波信號呢！

撇開自己半個圈內人的主觀看法，不少媒體都看好重力波研究會拿下2017年的諾貝爾獎。 當然也有些人並未完全信服。畢竟，如此微弱的信號，有許多可能出錯的空間；例如地表大氣和電離層的 Schumann resonances 對干涉儀信號的可能影響，就曾經是被懷疑的對象。 年初的想法是，不如等到10月初諾貝爾獎公布，算是相關研究得到全球公認的里程碑，再一口氣把故事寫完整。 如果LIGO偵測的重力波信號確實來自外太空，依照目前估計的雙星碰撞發生頻率， 持續觀測一兩年所得到的結果必然可以進一步支持這樣的結論。 LIGO與Virgo早先有一項政策， 大意是在大約四次重力波事件的研究報告論文正式發表後，他們會將比較可信的重力波信號偵測結果迅速公開， 使全球的天文學家甚至業餘觀察者都可以進一步追蹤重力波的來源。在此之前，相關報告只提供給正式簽約參與後續追蹤的學者或組織。 隨著重力波事件GW150914、GW151226、GW170104的發現與確認，時機也越來越成熟。

錯過第一次重力波事件的歐洲Virgo干涉儀，在2017年8月1日再度加入聯合觀測的行列。Advanced LIGO/Virgo的第二個觀測期（O2） 預定在8月底結束，依照原先進度進行設備的升級，進一步提高偵測的靈敏度。 （LIGO目前的靈敏度和Advanced LIGO設計預估的目標之間仍有3倍的差距。） 然而，3座干涉儀的聯合觀測還不到一個月， 網路上的傳言已經滿天飛。
8月25日，LIGO宣布第二個觀測季結束，得到了令人「非常興奮」的結果。
9月27日，重力波事件GW170814的結果正式發表，這是Virgo的第一個重力波事件，而且，由於Virgo的加入， 重力波來源方位的不確定性縮小到先前的十分之一。但是，眾多望遠鏡搜尋仍然沒有看到特別的事件。
10月3日，LIGO計畫的三位關鍵人物獲得了 2017諾貝爾物理獎。
10月11日，LIGO/Virgo合作團隊與美國國家科學基金會NSF宣布在10月16日將舉行盛大的記者會， 出席的還包括全球70多個天文台代表，要「討論重力波天文學的最新發展」。歐洲夥伴也將同時與位在智利的歐南天文台ESO連線，同步舉行記者會。 這是國際合作研究獲致重要成果發表時的典型做法，新聞稿與學術論文全球零時差上線公開。
10月16日，全球多個團隊正式發表第一個中子星碰撞的重力波事件GW170817， 以及同時間觀測到的伽瑪射線爆GRB 170817A的全電磁頻譜觀測結果。
在2017/09/28 和2017/11/01中子星碰撞事件公布前後， 從GCN Circular Archive目錄上的截圖（snapshot）也彷彿可以看到全球天文學家追蹤同一目標的熱情。

通常，這類的成果發表會伴隨著一兩篇已經被知名期刊審稿接受準備搶先在線上出版的學術論文。 這回包括了跨領域的 《Nature》、 《Science》、 天文物理專業的 《Astrophysical Journal Letters》 都同時刊出多篇相關主題的研究論文， 加上公開發表在arXiv.org預印本檔案庫的論文，或許有近百篇研究報告一夜之間上線， 一時之間還不大能全部消化。和接收到的微弱信號相比，這次事件震撼科學界的程度顯然比諾貝爾獎更吸引眾人目光。

短文評論〈重力波獨白落幕，多角觀測閃亮登場〉 刊登在《科學月刊》576期（2017年12月）2017諾貝爾獎特別報導。 由於科月評論篇幅有限，關於美國國家科學基金會（NSF）和LIGO計畫初期的一段故事背景，則用加長版的方式添加在結語之前， 〈重力波獨白落幕，多角觀測閃亮登場--重力波、中子星與LIGO 〉 一文刊登在《科技報導》433期（2018年1月）的時事評析， 這裡也提供加長版的初稿， 完稿時間在2017年，刊出的版本已經做了修正。 撰稿之際看到許多有趣的資料，不能一一呈現在簡短的篇幅裡。 譬如，加州理工在西元1998年訪問 巴利許（Barry Barish） 和2000年訪問魏斯（Rainer Weiss） 所完成的口述歷史，可以上網下載閱讀， 一窺計畫關鍵人物當中的兩位諾貝爾獎得主在LIGO硬體即將完工啟用之際對於整個重力波計畫的看法和回憶。 又像是長期關注重力波實驗的社會學者Harry Collins，在2004年出版的 《Gravity's Shadow: The Search for Gravitational Waves》一書， 也描述了一些計畫初期的各種困難和考量，包括美國國會的聽證會、NSF和其他非干涉儀的重力波計畫等等。 這些八卦故事在短文評論最後雖然一語帶過，在可見的將來恐怕還是會伴隨著這重大的科學發現，呈現更完整的歷史。

以〈衛星軌道與扁圓的地球〉一文慶祝人類邁入太空時代一甲子！

60年前的人類能否預見到人造衛星今日的成就與挑戰？
地球科學專欄文章〈衛星軌道與扁圓的地球〉刊登在《科學月刊》565期（2017年1月），這裡提供編輯前的初稿（未含附圖，見下文連結）。 由於交稿有點倉促，付印版本有些小錯與不妥之處。 譬如，地球重力位展開式當中的「r」在此特指質心距離，否則J₁就不等於零（可參閱初稿）； 延伸閱讀第1項末尾多了一個N。 下文概述文章的最初構想，詳述月球重力場和EGM96大地水準面兩圖的若干技術細節與連結，給有興趣深入研究的讀者們參考。 大地測量並非個人專長，若有謬誤疏失還請諸位先進們不吝指正。

1957年10月4日，前蘇聯成功發射了人類第一顆人造衛星史波尼克一號（Sputnik 1）。2017年恰好是人類開啟太空時代的60周年。這個事件的深遠影響，不僅促成了隔年美國航空暨太空總署（NASA）的誕生，也包含了由美國開始延伸到台灣的中學科學教育課程改革。編輯部原本對於登陸月球或其他天體的軌道有興趣，只是，這對我來說有點難。以前並沒有接觸過發射升空的彈道分析或著陸分析，倒是先前曾經研究過福衛二號的太陽同步軌道。同樣採用太陽同步軌道的福衛五號雖然有些延遲，也即將發射。於是決定寫一些比較深入關於衛星軌道的文章。除了太陽同步軌道的原理，原本蒐集的材料還包括two-line element (TLE)的介紹，可以讓讀者有興趣玩玩入門或進階的人造衛星追蹤分析程式；也希望能討論密切軌道要素（osculating elements）、平均軌道要素等的差異，或許再包含一些新一代的衛星推進方式如離子引擎、光帆、雷射，還有超級衛星系（constellation，例如最近報導Space X提出發射4425顆微衛星）、太空垃圾危機與對策等當年匪夷所思的太空計畫或問題。同時，失敗的火星任務Mars Climate Orbiter (NASA，1998) 和破產（最近又重生！）的銥計畫（Iridium satellite constellation）應該也是很有教育意義或吸引力的故事。在Amazon還不難發現2016年的新書，介紹銥計畫從失敗到轉型成功的歷程。不過，為了維持專欄的特性，最後決定專注在太陽同步軌道的物理學基礎分析，以及和這非球對稱形狀密切相關的一兩項簡單的課題與概念，包括不規則的重力等位面（大地水準面）和更單純的參考橢球與大地基準。

「圖一：非球對稱質量分布的簡單範例」是一幅簡單的示意圖，衛星運動方向也未必如圖所示。 圖二是NASA聖杯號（GRAIL A & B）太空船量測到的月球重力場，單位是mGal（1 Gal = 1 cm s^-2 = 1000 mGal）。原始圖檔可以在NASA網站下聖杯號2012年12月的新聞稿找到。研究論文發表在《Science》2013年2月（Zuber, M. T. et al., Science, Vol.339, Issue 6120, pp. 668-671），也是當期的封面故事。但是，NASA新聞稿這張圖顯示的月球表面是以月面經度180度為中心，恰好是地球上看不見的月球背面中心；此外麥卡托投影也不能從赤道無限延伸到月球南北極，因此只包含了月球赤道南北各約72度的範圍。 為了讓讀者對這幅月球重力場有更多感覺，特地花了些時間將先前找到的月面圖透過程式處理以供讀者比對。 月面圖來自NASA在2009年發射的月球探勘號（Lunar Reconnaissance Orbiter，LRO），由LROC（Lunar Reconnaissance Orbiter Camera）團隊拼接了LRO廣角相機（Wide Angle Camera，WAC）在2009年11月到2011年2月間所拍攝超過15000幅照片而成。原始圖檔（圖檔格式「cub」）大小約5.5 GB，月面解析度約100公尺。如果只是要和上述聖杯號的月球重力場圖相比較，應該不需要這麼好的解析度。 透過專門處理NASA行星任務資料的ISIS3軟體（Integrated Software for Imagers and Spectrometers），將LROC團隊的月面圖，選擇赤道南北72度範圍，以中央經度0度為中心，同樣使用麥卡托投影，就得到這張 月面圖，解析度選擇每度8個畫素，約4公里。 如果需要更精確比較，這幅 標示經線緯線的月面圖，兩相鄰經線或緯線相隔都是30度。讀者可以和月球重力場圖相比較。 計算時，如果中央經線設為180度，似乎有些點沒有資料，所以就把月球正面中央經線0度擺在中間，和地球上看到的樣子也比較接近。 投影應該也可以用更一般性的程式GDAL（Geospatial Data Abstraction Library）來計算，但是用起來似乎還是ISIS3的GUI視窗介面比較容易入手。

圖三大地水準面，由於編輯需要的圖片解析度並不高，沒有選用較新的地球重力模型EGM 2008，而採用EGM96大地水準面，展示地球重力等位面不規則的情況。重新計算球諧函數恐怕趕不上出刊日期，所以直接使用了GeographicLib的geoid數據（15'版本）。資料的「pgm」格式可以用Netpbm處理。GeographicLib編碼時用了兩個參數：
offset = -108
scale = 0.003
所以，資料最小值336與最大值64464換算成高度就是
336 * 0.003 - 108 = -106.992
64464 * 0.003 - 108 = 85.392
單位都是公尺，和從NASA的EGM96網站程式計算出來的結果相符。圖檔由Wolfram Mathematica的ReliefImage直接加上陰影來凸顯立體效果，所以沒有用圖例來顯示高程差。

〈衰減的星光〉又見外星人？

2015年諾貝爾獎名單公布後不到兩星期就接到耀寰來信，是一個網址連結，編輯部需要一篇短評。兩頁的短文〈衰減的星光〉（編輯部加上了個副標題「恆星亮度變化暗示文明存在？」）刊登在《科學月刊》554期（2016年2月），這裡提供編輯前的初稿。趕在春節前，編輯部還安排了教育電台的節目時間，和主持人燕子姐聊天，來介紹這篇短文的主角，也順便向聽眾拜年。

好萊塢明星總有個響亮好聽的名字；特殊天體的名字卻比較像電話號碼，好比說，KIC 8462852。我是真的很有興趣知道有沒有人用這支門號。最初發現這怪異天體的科學論文，雖然初稿早在2015年9月就上網；論文經過嚴格的審查和修改，卻直到2016年4月才正式出版，也增添了新的證據。持續監測恆星的亮度變化，其實也是掩星研究的主要工作之一。比較引人注意的是，這是一顆相當明亮的恆星，小望遠鏡就看得到；光度變化大，也不需要太精密的儀器就可以量得出來。如果克卜勒太空望遠鏡花了四年的時間，在天鵝座那塊小小的天區內就找到這個獨特的天體；是否有其他類似的普通恆星展現相似的亮度變化行為，應該相當值得小望遠鏡或業餘觀測者嘗試。網路宅人也可以考慮參加不出門的「行星獵人」（Planet Hunters）計畫，直接研究克卜勒望遠鏡的數據。

至於引起大眾狂熱的外星人假說，確實值得我們好好想想人類或是可能存在的外星文明本身的能源需求和運用方式；另一方面，也算是提供另一種透過光學望遠鏡搜尋外星文明的途徑。最近，所裡有場演講介紹某些白矮星周遭可能存在的行星系統或岩屑盤。光變曲線看起來其實還有些眼熟，只是白矮星和普通恆星大小相差百倍，要解開KIC 8462852之謎，還需要更多的觀測證據。2017年即將到來，也逐漸接近預測中有可能再次發生大規模亮度衰減的日期。如果您有機會，不妨抬頭看看天鵝座吧。不論恆星亮度是否有變化，嚴謹的科學觀測和記錄終將揭開它神秘的面紗。

關於〈《星際效應》的時空幾何與想像〉

　　二月底奧斯卡金像獎剛揭曉沒幾天就接到編輯部來信，希望能配合與2014年電影《星際效應》（Interstellar）相關的一本翻譯新書出版，在三月底前寫篇文章。因為有一段時間沒有進電影院了，也不確定有沒有什麼靈感或見解值得花時間寫下來的，就先到附近書店逛逛。很幸運的，書店裡剛好有這本《The Science of Interstellar》正在促銷，作者大名赫然是Kip Thorne，以前老板的老板，隨便翻翻二話不說就刷下去帶回家了。有趣的是，這本書是和電影相關書籍一併陳列在店裡，而不是原本預期歸類在一般科普書籍中。讀了序言和目錄，開始感到有點為難，因為封面寫著「spoiler alert」（有雷），一向很入戲的我可不想觸雷。首輪電影已經下片一陣子，光碟版要4月才上市，上網搜尋幾天終於等到桃園某郊區戲院開始二輪放映，只好刷悠遊卡去八德逛逛街。看完電影，又花點時間看書，最想知道的是從1988年為了Carl Sagan《Contact》一書所發展的蟲洞理論（traversable wormhole），和1994年Kip Thorne自己的科普著作《Black Holes & Time Warps》之後，相關領域的研究有些什麼重要的進展。影評應該留給社裡的科幻專家，中文翻譯書要5月才出版，也很少人為原文書寫書評，認真介紹電影裡的科學很難不透露劇情，預定3000多字的篇幅並不長，不容易介紹得比原作更清楚，不如直接看書。不過，科月5月號主題的「國際光之年」恰好也是紀念愛因斯坦的廣義相對論一百周年，聚焦在相對論與時空，雖然不能涵蓋電影中所有的科學相關內容，應該還算相配。同時也藉此提前慶賀廣義相對論的一百歲生日。中華民國重力學會等團體在下半年應該會安排各種慶祝活動。

　　拙作〈《星際效應》的時空幾何與想像〉一文刊登在《科學月刊》545期（2015 年5月），這裡提供編輯前的版本。原稿中並沒有真正寫下愛因斯坦方程式，其實應該也不大需要，因為沒看過有人把它反過來寫。Thorne原作論述清楚，讀起來很輕鬆，旁徵博引一些最近二十年的相關研究也十分引人入勝。由於科學材料太多，即使專注在時空幾何也很難在簡短篇幅內一一介紹。除了狹義及廣義相對論，最後稍微提及蟲洞和量子重力，在下原稿中最末用「快閃」的方式蹦出的反德西特空間（anti-de Sitter space或是adS space）、黑洞內部的其他奇異點、超立方等新鮮名詞或課題其實也都需要一些時空幾何的想像，就只能留給有興趣的讀者自己鑽研了。關於黑洞和蟲洞的彎曲時空，書裡主要以一般常用的赤道面內嵌幾何（embeded diagram），透過三維空間展示彎曲的二維空間（赤道平面）。缺點是看不太出來廣義相對論的時間膨脹，也區分不出黑洞和電影裡這種Morris-Thorne蟲洞（即traversable wormhole）的差別。1988年以前的蟲洞通常就是Einstein-Rosen bridge（ 史瓦西蟲洞），兩頭是黑洞和白洞。但是黑洞視界（event horizon）有去無回，並不適合星際旅行。Morris-Thorne蟲洞沒有視界，也沒有奇異點，與前者有相當的差異。學過一些相對論的讀者不妨試試透過時空圖來看看這種假想的蟲洞，度規可以參考特效團隊與Thorne最近合作發表的文章。若是選擇了不同的時間坐標，顯然可以畫出不同的時空圖。拙作中圖二的時空圖與光錐是仿效Hawking and Ellis, 1973, 《The Large Scale Structure of Space-time》一書中Figure 23所繪製。圖三顯示史瓦西黑洞旁的光偏折，來自《Gravitation》一書中Figure 25.6重製。Thorne新書中提到與特效公司Double Negative合作的兩篇論文已經在2月中上線，一篇研究旋轉黑洞arXiv:1502.03808發表在Classical and Quantum Gravity, 32, 065001，另一篇解釋如何計算電影中的蟲洞arXiv:1502.03809將發表在American Journal of Physics。《星際效應》一片拿下奧斯卡最佳視覺效果獎，透過嚴謹堅實的科學基礎所展現的黑洞與蟲洞場景應該是影片中的亮點，可惜已經不太容易在IMAX大銀幕上欣賞。

〈類星體五十年〉相關網址及參考資料

九月某天打開信箱，看到總編寄來的網址，是美國加州理工學院紀念五十年前發現類星體的研討會。科月要趕在今年刊出相關的文章，截稿時間有點緊迫，不好意思推給同事，就答應下來。手邊恰好也有些這方面的文獻，所以就花了點時間再深入研讀一番。〈類星體五十年〉一文就按照總編計畫在十月初完稿，刊登在《科學月刊》527期（2013 年11月）。由於文章的篇幅和性質，有些材料不方便列在參考文獻或註解中。編輯除了修改若干不清楚的文字、格式、圖說之外，也增加一小段在下對於「紅移」（redshift）的小小說明。如果您不挑剔，也可以看看全文編輯前的版本。

加州理工學院在九月舉辦了 Fifty Years of Quasars 紀念研討會，網址www.astro.caltech.edu/q50/Home.html可以連接到演講的影片和內容。包括施密特教授本人回顧當年發現的經過、研究的時代背景、後續發展和最新的研究進展都包含其中。拙作有些內容也直接引用。丘宏義教授在《Physics Today》1964年五月號的文章，被維基百科引用。上網下載原文還可以看見丘教授半世紀前的英姿。身為編輯的諾貝爾獎得主錢卓在施密特教授文章頁尾所加的編註，也可以在1970年〈Space Distribution and Luminosity Functions of Quasars〉一文的開頭看見。搭配施密特教授演講回顧答覆聽眾提問，這段歷史又鮮活的呈現出來。在聆聽史丹佛大學 Roger Blandford 教授的演講時才發覺，今年恰好也是愛因斯坦方程式少數幾個重要解析解 Kerr solution 的五十周年！當年史瓦西在愛因斯坦發表廣義相對論後沒多久就寫下了球對稱的史瓦西解。可是描述更實際的旋轉時空和自轉黑洞的準確解，卻等了好幾十年才由紐西蘭數學家克爾解出來。這名字對於稍微接觸過黑洞研究的學子一定不會陌生。可惜五年前克爾來台參加研討會，沒有引起太多的注意。 在下無意間從游輝樟教授那兒聽到消息，在東華大學留下了文中的那張照片。今年七月初，在德國舉辦了Kerr Conference，兩天的會議影片也可以上網觀賞。今天，活躍星系核的研究非常蓬勃，恐怕不是短短的紀念文章可以說清楚的。Beckmann 和 Shrader 最近有篇短文介紹一些活躍星系核研究中尚待解決的問題，〈The AGN phenomenon: open issues〉。拙文圖二「活躍星系核的標準模型」是參考該文附圖（Figure 1）重新繪製。細節的描述也可以參考他們兩位在2012年出版的《Active Galactic Nuclei》一書（由WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA出版，院裡可以閱讀電子書）第四章。Véron-Cetty 和 Véron 所編的活躍星系核目錄（第13版），可以從天文研究常用的資料庫CDS下載或連結。自然科學研究資源的開放和工程技術專利的獨佔性，可以由此看出差異。年輕學子在選擇未來志向時，或許也會考慮個性和工作特性之間是否相合。諾貝爾獎至今沒有頒給黑洞的研究或相關發現，隨著觀測技術的進步，或許會有所改變。十二月中在美國德州大學達拉斯將舉辦一周的第27屆德州相對論天文物理研討會（The 27th Texas Symposium on Relativistic Astrophysics），以「jubilee」一詞來慶祝相對論天文物理五十周年。第一屆研討會正是在1963年的達拉斯，以「類星體與重力塌縮」（Quasistellar Sources and Gravitational Collapse）為主題，顯見類星體在當年就被視為重「大」的發現（這「大」的特性，正適合德州，即使當地那時只有相對論學者，沒有天文學家。參閱Schucking在研討會25周年時的回顧。），雖然相對論和宇宙學的相關研究早在廣義相對論誕生之初就存在。從會議規模和主題來看，不難想見這仍然會是未來熱門的研究課題。

《天外天：人類和黑暗宇宙的故事》書評的補充說明及連結

在下的讀書報告〈心繫千古事，情縱天外天〉刊載於《科學月刊》519期（2013 年3月）。初稿大約在去年9月完成。有些材料不太適合寫在《天外天》書評裡面，這裡提供部分細節補充。
文中提到李傑信（李杰信）博士先前出版在《中国科技财富》雜誌中9篇同名的文章如下：
人的审判（上）2008/07期
人的审判（下）2008/08期
第一道光 2008/12期？
黑暗的宇宙 2009/01期
天外还有天外天 2009/03期
天尺 2009/05期
瓶装太阳 2009/07期
撞月 2009/11期
从“许昌人”说起（一）2009/13期
从“许昌人”说起（二）2009/15期
黑洞（上） 2009/17期
黑洞（下）2009/19期
期數和月份可能有點混淆，出刊日期好像不是很正常。有些時候似乎是半月刊，例如2009年，但2008年似乎又不是。不過，搜尋作者及標題應該都可以找到文章。原先找到的原始期刊網址已經失效，稍後有更確切的資訊會再更新。
另外，白矮星的電子簡併壓力是量子力學的效應，和古典電磁學的靜電力有所不同，一般教科書或科普書都會介紹。初稿完成後才聽說美國太空總署NASA已經退出了雷射重力波太空干涉儀LISA的太空實驗計畫，由歐洲太空總署ESA獨挑大樑。金融風暴下的LISA計畫和其他科學研究顯然面臨相當多的困境。

與《孫維新談天》

在下的一篇讀書報告〈與孫維新談天〉刊載於《科學月刊》508期（2012年4月）。初稿應該是去年四月完成的，和編輯後的版本差不太多。文中引用古籍的部份，例如《國語》、《荀子》、《周禮》都可以在網路上找到全文（大多不含注疏）。院裡另有《四庫全書》和《古今圖書集成》限制院內連線使用，方便不少。不過，清代的《四庫全書》有些避諱的字眼，例如「玄」武兩字避康熙皇帝名諱改為「元」武。至於NASA的火星任務Mars Odyssey當中所使用的伽瑪射線光譜儀（Gamma Ray Spectrometer）GRS儀器團隊，為了推廣教育而設計的網頁解說可以透過GRS網頁的學習區（learning zone）連上。

〈追緝太陽系的隕石威脅〉參考資料與連結

拙作〈追緝太陽系的隕石威脅〉刊載於《科學月刊》505期（2012末日謠言專輯）。這裡提供編輯前的版本，其中包括比較完整的網址連結和更多相關的參考文獻。像是NASA科學家對於2012末日謠言二十個問題的回覆（或許也可由Wikipedia找到），以及關於Nice模型（由法國地名命名）最初幾篇論文的詳細資料，希望對有興趣的讀者們有所幫助。事實上，Nice模型自從2005年提出來以後，在理論上和觀測上都有新的進展和挑戰。例如正文中所提及類地行星軌道和不同類主帶小行星的分布等問題，可參閱 Walsh, K.J. et al., Nature, 475, 206 （2011年7月）及其前後（引用或被引用）的參考資料。

〈行星橢圓軌道的古今對話〉補遺

拙作〈行星橢圓軌道的古今對話〉一文刊載於 科學月刊480期
（2009年12月全球天文年專欄）。 由於篇幅的限制，原稿中關於托勒密的宇宙觀以及哥白尼革命的部分在編輯時被刪除了。這其實蠻可惜的。因為，就筆者來看，第谷的地心說模型和哥白尼的日心說模型從數學觀點來看是完全等價的，兩者只差一個座標轉換。當中的微妙之處或許就在於，一個會動的地球所產生的視差使得決定行星真正距離成為理所當然的事。托勒密只計算出行星本均輪的相對大小，所以，每個行星在本輪上的運動雖然與太陽繞地球同步，但是行星本輪可能大小不一，使得在哥白尼以前沒有人意識到順行與逆行其實只是地球繞太陽運動的反映。發表在月刊上的版本好像低估了哥白尼的成就。如果您有這樣的誤解，請參考編輯前的版本，還可以看到現代程式重現西元1580年到1596年之間八次火星逆行的計算結果。此外，關於托勒密、第谷和哥白尼複雜的本均輪模型，佛羅里達州立大學的Duke教授有很精采的Flash動畫模擬。可參閱維基百科或連結http://people.sc.fsu.edu/~dduke/。

另一方面，我們或許認為從圓形軌道到橢圓軌道是重要的一步。然而，更重要的可能是從托勒密的各層行星天球緊密相接的宇宙觀進步到真空中的行星軌道這件事。因為，只有在這樣的概念下才可能進一步探討太陽與行星之間存在引力的可能。換句話說，克卜勒不僅是發現了行星的橢圓軌道，他還看出來在日心說的模型裡，重要的是『軌道』這樣的觀念，而不是虛擬的本輪均輪或行星天球。雖然他在《新天文學》一書中嘗試用磁力來解釋並不成功，物理觀念的演進卻已經不可逆轉，終於導致牛頓重力理論的成功。關於克卜勒問題和橢圓軌道的計算可參閱維基百科的相關說明（例如，Kepler Problem，Kepler's laws of planetary motion）或物理系理論力學和古典力學教科書。

如果能用程式計算出橢圓軌道，我們就可以比較看看當離心率變大時，托勒密的偏心點理論和實際橢圓軌道的差異。下圖由左至右分別是離心率0.3、0.5、0.7的橢圓軌道，引力中心在橢圓右邊的焦點上，相鄰兩黑色圓點間的時間間隔都是週期的二十四分之一。我們可以感覺到，相對於右邊的焦點，運動大致滿足克卜勒的等面積定律。



下圖和上圖相同，引力中心還是在橢圓右邊的焦點上，只是觀測者在左邊的焦點上。當離心率在0.3以下，看起來就像是均勻的運動（同樣時間掃過同樣角度）。但是，當離心率變大，誤差就十分明顯。



太陽系八大行星離心率最大的水星，離心率也只有0.2。

時空隨想─兼評《時光旅人》

拙作 "時空隨想─兼評《時光旅人》"一文
刊載於科學月刊479期 （2009年11月）。
由於版面限制不能全文刊出，最後一兩段有些刪減。
這裡提供刪減前的版本。