〈行星橢圓軌道的古今對話〉補遺

拙作〈行星橢圓軌道的古今對話〉一文刊載於 科學月刊480期
（2009年12月全球天文年專欄）。 由於篇幅的限制，原稿中關於托勒密的宇宙觀以及哥白尼革命的部分在編輯時被刪除了。這其實蠻可惜的。因為，就筆者來看，第谷的地心說模型和哥白尼的日心說模型從數學觀點來看是完全等價的，兩者只差一個座標轉換。當中的微妙之處或許就在於，一個會動的地球所產生的視差使得決定行星真正距離成為理所當然的事。托勒密只計算出行星本均輪的相對大小，所以，每個行星在本輪上的運動雖然與太陽繞地球同步，但是行星本輪可能大小不一，使得在哥白尼以前沒有人意識到順行與逆行其實只是地球繞太陽運動的反映。發表在月刊上的版本好像低估了哥白尼的成就。如果您有這樣的誤解，請參考編輯前的版本，還可以看到現代程式重現西元1580年到1596年之間八次火星逆行的計算結果。此外，關於托勒密、第谷和哥白尼複雜的本均輪模型，佛羅里達州立大學的Duke教授有很精采的Flash動畫模擬。可參閱維基百科或連結http://people.sc.fsu.edu/~dduke/。

另一方面，我們或許認為從圓形軌道到橢圓軌道是重要的一步。然而，更重要的可能是從托勒密的各層行星天球緊密相接的宇宙觀進步到真空中的行星軌道這件事。因為，只有在這樣的概念下才可能進一步探討太陽與行星之間存在引力的可能。換句話說，克卜勒不僅是發現了行星的橢圓軌道，他還看出來在日心說的模型裡，重要的是『軌道』這樣的觀念，而不是虛擬的本輪均輪或行星天球。雖然他在《新天文學》一書中嘗試用磁力來解釋並不成功，物理觀念的演進卻已經不可逆轉，終於導致牛頓重力理論的成功。關於克卜勒問題和橢圓軌道的計算可參閱維基百科的相關說明（例如，Kepler Problem，Kepler's laws of planetary motion）或物理系理論力學和古典力學教科書。

如果能用程式計算出橢圓軌道，我們就可以比較看看當離心率變大時，托勒密的偏心點理論和實際橢圓軌道的差異。下圖由左至右分別是離心率0.3、0.5、0.7的橢圓軌道，引力中心在橢圓右邊的焦點上，相鄰兩黑色圓點間的時間間隔都是週期的二十四分之一。我們可以感覺到，相對於右邊的焦點，運動大致滿足克卜勒的等面積定律。



下圖和上圖相同，引力中心還是在橢圓右邊的焦點上，只是觀測者在左邊的焦點上。當離心率在0.3以下，看起來就像是均勻的運動（同樣時間掃過同樣角度）。但是，當離心率變大，誤差就十分明顯。



太陽系八大行星離心率最大的水星，離心率也只有0.2。